Hubungkan 9 Titik Dengan 4 Garis

Kedudukan titik terhadap lingkaran dengan bentuk x2 + y2 = r2

Pada bentuk persamaan x2 + y2 = r2, lingkaran memiliki titik pusat di O (0,0) dan panjang jari-jari r. Misalkan terdapat suatu titik, yaitu Q (x1, y1). Kedudukan titik Q terhadap lingkaran x2 + y2 = r2 adalah sebagai berikut:

Supaya kamu lebih mudah memahami maksud dari rumus di atas, yuk kita coba kerjakan beberapa contoh soal di bawah ini.

1. Tentukanlah kedudukan atau posisi titik (5,2) terhadap lingkaran x2 + y2 = 25!

2. Titik (8,p) terletak tepat pada lingkaran x2 + y2 = 289 apabila p bernilai?

1. Pada persamaan x2 + y2 = 25 diketahui nilai r2 = 25. Untuk menentukan kedudukan titik (5,2) terhadap lingkaran x2 + y2 = 25, kita bisa langsung mensubstitusikan titik tersebut ke dalam persamaan lingkarannya.

Sehingga (x, y) = (5, 2) diperoleh:

Karena 29 > 25. Jadi, titik (5,2) terletak di luar lingkaran x2 + y2 = 25

2. Syarat agar titik (8, p) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 289, maka ketika titik (8, p) disubstitusikan ke persamaan lingkarannya, harus sama dengan 289. Kalau kita substitusikan diperoleh:

Jadi, agar titik (8, p) terletak tepat pada lingkaran x2 + y2 = 289, nilai p haruslah bernilai 15 atau -15.

Baca juga: 4 Metode Pembuktian Matematika

Eits, istirahat dulu bacanya sebentar ya. Punya PR susah dan bingung harus tanya kemana? Gampang, kamu bisa langsung kirim foto soal dan dapatkan jawabannya di Roboguru!

Offenbar hast du diese Funktion zu schnell genutzt. Du wurdest vorübergehend von der Nutzung dieser Funktion blockiert.

Offenbar hast du diese Funktion zu schnell genutzt. Du wurdest vorübergehend von der Nutzung dieser Funktion blockiert.

Wenn dies deiner Meinung nach nicht gegen unsere Gemeinschaftsstandards verstößt,

Yuk, belajar tentang kedudukan titik dan garis lurus terhadap lingkaran! Selain teori, di artikel ini ada latihan soalnya juga, lho!

Di tingkat SMP, kamu sudah belajar mengenai lingkaran. Mulai dari mengenal berbagai macam bagian-bagian lingkaran, sampai dengan cara menghitung luas bangunnya. Pada lingkaran, terdapat yang namanya titik pusat dan juga jari-jari. Nah, ada yang masih inget nggak, pengertian dari keduanya?

Titik pusat merupakan suatu titik yang berada tepat di tengah lingkaran. Sementara itu, jari-jari lingkaran merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan satu titik pada garis lengkung lingkaran. Supaya lebih kebayang nih, coba deh kamu perhatikan lingkaran berikut!

P : pusat lingkaran, r : jari-jari lingkaran (Sumber: rumuspintar.com)

Dari gambar bisa terlihat ya, pusat itu letaknya di tengah-tengah, sedangkan jari-jari merupakan garis yang menghubungkan titik pusat dengan tepi lingkaran. Sekarang, kakak ada beberapa pertanyaan, nih. Bagaimana jika terdapat satu titik yang terletak bukan di pusat lingkaran? Atau, bagaimana jika ada garis lurus pada lingkaran yang tidak kita ketahui dengan jelas, apakah garis itu memotong lingkaran atau bersinggungan dengan lingkaran?

Nah, pertanyaan-pertanyaan itulah yang akan kita bahas pada artikel kali ini, yaitu mengetahui kedudukan atau letak suatu titik dan garis lurus terhadap lingkaran. Oke, langsung saja kita simak pembahasannya berikut ini!

Kedudukan Titik terhadap Lingkaran

Kedudukan titik terhadap lingkaran terbagi menjadi tiga kondisi, yaitu titik terletak di dalam lingkaran, titik terletak di luar lingkaran, dan titik terletak pada garis lengkung lingkaran. Sebenarnya, letak titik pada lingkaran ini dapat kita ketahui dengan mudah apabila keduanya digambarkan pada bidang Kartesius. Tapi, cara itu kurang efektif karena memerlukan waktu yang cukup lama. Apalagi, jika digunakan di ujian nanti.

Eits, tenang aja! Ada cara lain yang bisa kita gunakan untuk mengetahui kedudukan titik-titik tersebut tanpa harus menggambarnya, yakni dengan menggunakan rumus persamaan lingkarannya sebagai berikut:

Ada tiga macam bentuk umum persamaan lingkaran. Penentuan letak suatu titik pada lingkaran tergantung dari masing-masing bentuk persamaannya.

Kedudukan titik terhadap lingkaran dengan bentuk (x-a)2 + (y-b)2 = r2

Pada bentuk persamaan ini, lingkaran memiliki titik pusat di P (a,b) dan panjang jari-jari r. Misalkan, terdapat suatu titik, yaitu Q (x1, y1). Kedudukan titik Q terhadap lingkaran (x-a)2 + (y-b)2 = r2 adalah sebagai berikut:

Tentukan kedudukan titik (3, 5) terhadap lingkaran dengan persamaan (x-3)2 + (y-2)2 = 16!

Seperti pada pembahasan soal nomor 1 sebelumnya, letak titik (3, 5) pada lingkaran (x-3)2 + (y-2)2 = 16 dapat kita ketahui dengan mensubstitusi titik tersebut ke dalam persamaan lingkaran,

3 – 32 + 5 – 22 = 02 + 32

Karena 9 < 16, jadi titik (3, 5) terletak di dalam lingkaran x – 32 + y – 22 = 16

Kedudukan Garis Lurus terhadap Lingkaran

Sama halnya dengan pembahasan sebelumnya, kedudukan garis lurus terhadap lingkaran terbagi menjadi tiga kondisi, yaitu garis memotong lingkaran di dua titik berbeda, garis menyinggung lingkaran di satu titik, dan garis tidak memotong ataupun menyinggung lingkaran.

Kedudukan garis lurus pada lingkaran dapat kita cari menggunakan nilai diskriminannya.

Diskriminan (D = b2 – 4ac) diambil dari persamaan kuadrat yang merupakan hasil substitusi dari persamaan garis dengan persamaan lingkarannya.

Tentukan posisi garis y = 3x – 1 terhadap lingkaran x2 + y2 + 2x + 2y – 4 = 0!

Pertama, kita cari persamaan kuadrat dengan mensubstitusikan terlebih dahulu persamaan garis y = 3x – 1 ke dalam persamaan lingkaran x2 + y2 + 2x + 2y – 4 = 0, sehingga:

x2 + (3x – 1)2 + 2x + 2(3x – 1) – 4 = 0

x2 + 9x2 – 6x + 1 + 2x + 6x – 2 – 4 = 0

Setelah kita peroleh persamaan kuadratnya, kita cari nilai diskriminannya sebagai berikut:

10x2 + 2x – 5 = 0, a = 10, b = 2, c = -5.

Karena nilai diskriminannya adalah 222, dan 222 > 0, maka garis y = 3x – 1 memotong lingkaran x2 + y2 + 2x + 2y – 4 = 0 di dua titik.

Gimana, nih? Semoga kamu paham ya dengan penjelasan di atas. Nah, di bawah ini kakak masih ada beberapa latihan soal lagi yang bisa kamu kerjakan di rumah.

Oke, selesai sudah pembahasan kita kali ini. Kakak harap, artikel ini dapat membantumu dalam memahami materi tentang kedudukan titik dan garis lurus terhadap lingkaran. Ingat, belajar matematika itu harus banyak latihan soal ya, supaya materi yang kamu pelajari bisa lebih mudah terserap. Kamu bisa menemukan ribuan latihan soal lengkap dengan pembahasannya, di ruangbelajar lho! Yuk, meluncur ke sana sekarang!

Sutrisna, Waluyo S. (2017). Konsep Penerapan Matematika SMA/MA Kelas XI. Jakarta: Bumi Aksara.

Gambar ‘Pusat dan Jari-Jari Lingkaran’ [Daring]. Tautan: https://rumuspintar.com/wp-content/uploads/2019/09/Lingkaran.jpg (Diakses: 12 Januari 2021)

Artikel ini telah diperbarui pada 12 Januari 2022.

Yuk, beri rating untuk berterima kasih pada penjawab soal!

Kapolresta Solo Kombes Iwan Saktiadi. Metrotvnews.com/ Triawati

Solo: Polresta Solo mengimbau gereja penyelenggara ibadah Natal dan Tahun Baru 2025 memasang kamera pengawas baik di dalam atau luar gereja. Kemudian kamera pengawas tersebut dihubungkan dengan Smart City Comand Center. "Untuk memaksimalkan pengamanan, diharapkan agar CCTV yang ada digereja bisa dihubungkan dengan Smart City Comand Center sehingga pihak Kepolisian bisa secara langsung memantau dan memonitor keamanan dan kelancaran lalu lintas," ujar Kapolresta Solo, Kombes Iwan Saktiadi, di Solo, Kamis, 12 Desember 2024. Ia menekankan, pengamanan dan penjagaan tersebut dilakukan supaya masyarakat yang merayakan natal dan tahun baru dapat nyaman dan aman. Hal itu telah disosialisasikan ke seluruh pengurus gereja.

Dalam pengamanan Nataru, Polresta Solo bekerjasama dengan TNI, Satpol PP, Dishub serta pengamanan swakarsa dari masyarakat. Ia menambahkan, sebanyak 899 personil gabungan dari seluruh instansi dan swakarsa di Kota Solo akan diterjunkan untuk pengamanan Nataru.

"Kami juga menyediakan pos pengamanan yang dekat dengan gereja yang berjaga selama 24 Jam di gereja. Petugas juga akan melaksanakan sambang patroli manakala gereja tersebut akan mengadakan misa," bebernya.

Sementara itu, pengamanan gereja akan dibedakan menjadi tiga prioritas. Yakni gereja prioritas 1, prioritas 2 dan prioritas 3. "Gereja prioritas 1 yakni gereja dengan jumlah jemaat lebih dari seribu dan mengadakan dua kali ibadah natal. Kemudian gereja prioritas dua dengan jumlah jemaat 500 orang atau lebih. Serta gereja prioritas tiga dengan jumlah jemaat kurang dari 500 orang," ungkapnya.

Hari Rabu adalah hari kesayangan saya. Tidak tahu persis mengapa atau bermula bagaimana. Seperti juga angka sembilan. Yang biasanya saya tunjuk ketika diberi pilihan. Mungkin karena ini juga nomor kesayangan pesepak bola Italia, Vincenzo Montella (love you!).

Dulu, di depan layar televisi, saya biasa mencari kaus bernomor punggung sembilan. Nomor sembilan biasanya merentangkan kedua tangan lebar-lebar sambil berlari untuk merayakan gawang lawan yang jebol. Seperti pesawat terbang.

Sewaktu Batistuta datang ke AS Roma dan meminta nomor punggung 9, Montella menolaknya mentah-mentah. Batistuta harus puas dengan nomor punggung 18. Sayangnya, ketika Montella kembali ke AS Roma setelah dipinjamkan ke Sampdoria, nomor 9-nya sudah keburu disandang Vučinić. Jadi Montella pun mengambil nomor punggung Vučinić: 23.

Terlepas dari itu semua, hari ini adalah hari Rabu tanggal sembilan, bulan sembilan, tahun dua ribu sembilan. Sejak bangun tidur tadi pagi, saya sudah tahu bahwa hari ini akan istimewa. Tidak perlu ‘sempurna’, tetapi pasti akan ‘istimewa’. Rasanya seperti firasat.

Kebetulan, beberapa hari lalu, saya dikontak Lisa Siregar, seorang jurnalis dari Jakarta Globe. Kami berjumpa di Twitter karena sama-sama punya ketertarikan terhadap proyek ‘A Day on the Planet‘: merekam momen pribadi orang-orang di seluruh dunia pada tanggal sembilan, bulan sembilan, tahun dua ribu sembilan, dalam satu halaman A4, untuk kemudian dibukukan.

Salah satu pertanyaan Lisa kepada saya adalah: “Are you planning to do something special on September 9?”

Saya katakan kepada Lisa, bahwa saya belum punya rencana apa-apa. Saya juga masih belum tahu apakah saya perlu melakukan sesuatu yang ‘spesial’ or to just let the moment flows naturally.

Ternyata saya memilih yang belakangan.

Saya tahu bahwa hari ini akan menjadi istimewa ketika saya menemukan sebuah novel di Amazon. Judulnya The Greatest Thing After Sliced Bread. Penulisnya Dan Robertson.

Pada salah satu halamannya, Morris Bird III yang berusia sembilan tahun bercakap-cakap dengan anak perempuan yang ditaksirnya, Suzanne Wysocki.

“I don’t think much about dying.”

— “You should,” said Suzanne.

— “Because it’s going to happen to you.”

Kalimat ini mengendap di benak saya hingga siang tadi. Saya dan kawan saya baru saja pulang dari sebuah rapat. Begitu mobil kami melewati apotik Senopati, kawan saya memekik dan berkata,”Aduh, gue nggak tega lihat orang tua itu. He looks exactly like my father when he’s dying…”

Saya yang duduk menghadap kawan saya dan membelakangi jendela, tidak sempat melihat dengan jelas. Rupanya ada seorang kakek yang terduduk di pinggiran trotoar. Dan kawan saya menggambarkannya seekstrim itu. He looks exactly like my father when he’s dying.

Mengingat salah seorang rekan kami di kantor bertempat tinggal tak jauh dari apotik Senopati, kawan saya itu pun berniat ‘menitipkan’ sesuatu untuk si kakek. Apa saja. “Seharusnya orang setua itu ada yang ngurusin,” ujar kawan saya, sedih bercampur geram.

Dying. Sudah dua kali hari ini.

Saya ingat, beberapa waktu lalu, saya dan seorang sahabat lama berbincang mengenai sepuluh hal yang ingin kami lakukan sebelum kami meninggal dunia. Kami sama-sama berhenti di nomor lima.

Tepatnya, saya sempat berhenti di nomor lima, kemudian memaksakan diri menulis sesuatu di urutan 6.

Saya tidak yakin saya sungguh-sungguh menginginkannya. Saya tuliskan sebaris kalimat hanya untuk mengisi titik-titiknya.

Hari ini, saya memandangi daftar permohonan itu kembali. Memandangi urutan 1 sampai 5. Urutan nomor 6 yang ‘terpaksa’. Dan urutan 7 sampai 10 yang tidak terisi. Saya tak bisa ungkapkan di sini apa saja permohonan saya, tetapi secara acak melibatkan kata-kata berikut: aurora, kafe di negeri yang jauh, sebuah novel, pesawat tempur, musim gugur, dan sebuah perjalanan.

Lalu saya melihat daftar permohonan sahabat saya di atasnya. Dengan nomor 6 sampai 10 yang masih berupa titik-titik. Dan saya melihatnya. Saya mengerti.

Ini seperti sebuah aha-moment, atau apalah namanya. Ternyata 10 permohonan memang terlalu banyak jika hanya ditujukan untuk diri sendiri.

Mungkin sebenarnya saya cukup meminta dua atau tiga untuk saya pribadi, lalu mengalokasikan yang empat sampai sepuluh untuk orang lain. (Tak lupa menyisakan satu dari tujuh untuk binatang-binatang. Dan satu dari enam untuk tumbuh-tumbuhan.)

Dan jika titik-titiknya tetap tidak terisi juga, biarkan saja.  Sometimes, we don’t really need to fill in the dots. Mungkin memang belum waktunya. Sebagaimana cinta yang belum saatnya: terkadang hanya bisa mengisi sela-sela jari, dan bukan sela-sela hati.

Dan memang tidak ada hari yang lebih istimewa dari hari-hari ketika kita bisa mempelajari sesuatu yang baru, tentang diri sendiri.

Logo huruf F dengan bola atau titik dan garis yang berwarna-warni . — Vektor

Kedudukan titik terhadap lingkaran dengan bentuk x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Persamaan lingkaran dengan bentuk x2 + y2 + Ax + By + C = 0 memiliki:

Sebenarnya, bentuk persamaan ini merupakan hasil penjabaran dari bentuk (x-a)2 + (y-b)2 = r2.  Misalnya, terdapat suatu titik pada lingkaran, yaitu Q (x1, y1). Kedudukan titik Q terhadap lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 adalah sebagai berikut:

Sekarang, kita coba kerjakan soal di bawah ini.

Tentukan nilai m agar titik (2, m) terletak di luar lingkaran x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0!

Agar titik (2, m) berada di luar lingkaran x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0, syarat yang harus dipenuhi adalah ketika titik (2, m) disubstitusikan ke pesamaan lingkarannya, maka diperoleh  x12 + y12 + Ax + By + C > 0. Oleh karena itu, kita substitusikan titik (2, m) ke dalam persamaan x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0, menjadi sebagai berikut:

x2 + y2 + 2x – 6y – 15 > 0

22 + m2 + 4 – 6m -15 > 0

4 + m2 + 4 – 6m – 15 > 0

Nah, ternyata kita dapetnya pertidaksamaan nih, kalau begitu kita harus cari dulu pembuat nolnya, yaitu:

Kemudian, gambarkan ke garis bilangannya:

Karena tanda pertidaksamaannya >, maka daerah yang kita pilih adalah yang positif. Sehingga, nilai m yang memenuhi adalah m < -1 atau m > 7.

Jadi, agar titik (2, m) berada di luar lingkaran x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0, nilai m yang memenuhi adalah m > 7 atau m > -1.

Nah, teman-teman, paham ya dengan penjelasan di atas? Sekarang, kita lanjut yuk ke bahasan tentang kedudukan garis lurus terhadap lingkaran. Cus, meluncuuurrr!!!

Baca juga: Konsep Limit Fungsi Aljabar dan Sifat-Sifatnya